Zwei-dimensionale Funktionen

Um Neuronale Netze mit mehr als einem Input zu verstehen, ist es gut, wenn man mehr-dimensionale Funktionen versteht. Die "normalen" Funktionen - wie man sie aus dem Mathematikunterricht kennt - sind ein-dimensionale Funktionen. Sie haben ein Argument und liefern für dieses Argument einen bestimmten Wert. Sehr häufig verwendet man für das Argument den Namen "x" und schreibt die Funktion als Term, wie z.B. bei der Normalparabel:

f(x) = x^2

Die Funktion ordnet jedem Wert von $x$ einen Wert $f(x)$ zu. Damit ergibt sich ein Punkt in der zweidimensionalen Ebene, dessen x-Koordinate $x$ und dessen y-Koordinate $f(x)$ ist:

(x,y) = ( x, f(x) ) = (x,x^2)

Stellt man all diese Punkte graphisch dar, erhält man den Graph der Funktion $f$ (siehe rechts).

Schau Dir die Koordinaten an

Gehe mit der Maus über den Graphen. Du siehst die Koordinaten der Punkte auf dem Graphen.

Parameter

Zusätzlich zum Argument kann eine Funktion Parameter haben. Diese verändern die Form oder Lage der Funktion. Bei der Normalparabel können wir z.B. drei Parameter $a$ , $b$ und $c$ einführen:

f(x) = c \cdot (x-b)^2 + a

Die Parameter bestimmen die Form und Lage der Parabel, wie Du hier ausprobieren kannst.

Herausforderung

f(x)=x

Probiere die einzelnen Parameter aus. Welchen Einfluss haben sie auf den Graphen der Funktion?

$a =$
$b =$
$c =$

Die Lösung

[Klick mich!]

Der Parameter $a$ verschiebt die Parabel parallel zur y-Achse.

Der Parameter $b$ verschiebt die Parabel parallel zur x-Achse.

Der Parameter $c$ streckt/staucht die Parabel parallel zur y-Achse.

Zwei-dimensionale Funktionen

Eine zwei-dimensionale Funktion $f(x,y)$ hat zwei Argumente, die man häufig $x$ und $y$ nennt. Sie ordnet jeder Kombination aus zwei Werten einen dritten Wert zu. Damit ergibt sich ein Punkt im drei-dimensionalen Raum, dessen x- und y-Koordinaten die beiden Argumente, und dessen z-Koordinate der Funktionswert ist:

(x,y,f(x,y))

Stellt man für alle Kombinationen von x- und y-Werten diese Punkte grafisch dar, ergibt sich eine Oberfläche im dreidimensionalen Raum. Rechts sieht man das Beispiel für die Funktion

f(x,y) = x \cdot y

Schau Dir die Koordinaten an

Gehe mit der Maus über den Graphen. Du siehst die Koordinaten der Punkte auf dem Graphen.

Ein deutlich komplizierteres Beispiel ist die folgende zwei-dimensionale Funktion mit sechs Parametern:

f(x,y) = c_x \cdot x^2 + c_y \cdot y ^2 + c_{xy} \cdot x \cdot y + b_x \cdot x + b_y \cdot y + a

Sie ist eine Kombination aus zwei Parabeln, eine parallel zur x-Achse, die andere parallel zu y-Achse.

Die Parameter

Probiere verschiedene Parameter-Kombinationen aus, insbesondere:^

Setze $b_y$ , $c_y$ und $c_{xy}$ auf 0 und verändere die anderen Parameter.
Setze $b_x$ , $c_x$ und $c_{xy}$ auf 0 und verändere die anderen Parameter.
Setze $c_x$ , $c_y$ und $c_{xy}$ auf 0 und verändere die anderen Parameter.
Setze $b_x$ , $b_y$ und $a$ auf 0 und verändere die anderen Parameter.

$a =$
$b_x =$
$b_y =$
$c_x =$
$c_y =$
$c_{xy} =$

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